反演构图解压轴——2024年景王人市中考数学第26题

　　

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频繁情况下采用几何概括题压轴的考卷，难度不会很低，2024年景王人市中考数学第26题，取材于数学活动，层层修复问题，在几何状态中推敲数目干系和位置干系，对学生构图才智条件较高。

本题组成图形极为浮浅，两个边长为3，4，5的直角三角形，绕其中一个极点旋转，在这个进程中，最初资格特别位置干系，求线段长，然后推敲新的直角三角形存在性。在这个进程中，需要学生通过作图细目直角三角形，从而完成解答，磨真金不怕火了学生基本作图才智。

由于图形是动态的，而况在畅通进程中推敲存在性问题，因此若何准确作图相当要害，尽管咱们解题时不错用草图来类似构图，但在解题之后，仍然需要多问自已，能否准确作图，这不禁令东谈主想起了前不久张钦博士的那节示范课，其中提到了反演旨趣，因此借助本题解题念念考，来加深对图形的网络。

题目

数学活动课上，同学们将两个全等的直角三角形纸片全王人重合放手，固定一个极点，然后将其中一个纸片绕这个极点旋转，来推敲图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.

【初步感知】

(1)如图1，勾通BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转进程中，试推敲BD:CE的值；

【潜入推敲】

(2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转进程中，当点D偶合落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长；

【拓展蔓延】

(3)在纸片ADE绕点A旋转进程中，试推敲C，D，E三点能否组成直角三角形，若能，径直写出通盘直角三角形CDE的面积；若弗成，请确认旨趣.

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领悟：

(1)如下图：

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△ABD∽△ACE，且相似比为3:5，故BD：CE=3：5;

(2)由于BM是Rt△ABC斜边上的中线，是以极易瞎猜度斜边上的中线就是斜边的一半，是以咱们可赢得两个等腰三角形，分别是△ABM和△BCM，同期由于旋转，相似可得△ABD是等腰三角形，而况和△ABM还有一个大家角，于是本小题打破口就此掀开，如下图：

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△AMB∽△BAD，不错得对应边成比例，即AB:BD=MA:AB，得AB²=BD·MA，可求出BD=3.6；

由相似三角形还不错赢得∠MAB=∠ADB，由旋转可知∠MAB=∠EAD，于是∠EAD=∠ADB，解释了DM∥AE；

借助这组平行线，咱们赢得第二组相似，△FMD∽△FAE，得比例线段FM:FA=DM:EA，不妨设FM=x，则x:(x+2.5)=(3.6-2.5):5，求出x=55/78，临了CF=CM-FM=70/39；

另一种念念路：

勾通CE，类比第1问，如下图：

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依然有△ABD∽△ACE，∠ABD=∠ACE，又∠ABD+∠MBC=90°，且∠MBC=∠MCB，是以∠MCB+∠ACE=90°，即CE⊥BC，不妨过点A作AG⊥CE，在等腰△ACE中，由三线合一得点G是CE中点，易证矩形ABCG，得CG=AB=3，于是CE=6，再诓骗△ABD∽△ACE，相似比为3:5，求出BD=3.6；

后续解答同格式一，不再重叠；

(3)本问的难点在于作图，而作图难点在于构念念，想不到是以作不出图是很泛泛的，这亦然区别学生才智的进军依据。

咱们先从旧例作图运转，用草图来解题，然后推敲有无更高效的作图格式，临了连络作图旨趣。

在旋转进程中，△CDE可能成为直角三角形；

①∠DCE=90°时，如下图：

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在等腰△ACE中，咱们作AG⊥CE，由三线合一得点G是CE中点，再加上∠DCE=90°，可证GH∥CD，则GH是△CDE中位线，即点H是DE中点；

咱们容易赢得△ADH∽△ECD，其中AD=3，DH=2，于是EC:CD=3:2，在Rt△CDE中，设EC=3k，CD=2k，凭证勾股定理得9k²+4k²=16，故k²=16/13，可求得△CDE面积为1/2·3k·2k=3k²=48/13；

②∠CDE=90°且点D在边AC上，如下图：

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这种情形相对容易求，CD=5-3=2，DE=4，则△CDE面积为4；

③∠CDE=90°且点D在边AC延长线上，如下图：

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这种情形也不算难，CD=5+3=8，DE=4，则△CDE面积为16；

③∠CED=90°，如下图：

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过点A作AG⊥CE，易证矩形ADEG，且点G是CE中点，于是CE=6，DE=4，则△CDE面积为12.

综上，△CDE面积为48/13，4，16，12.

解题念念考：

陆续第3问的作图念念考，在我自已解题或学生解题进程中，频繁是作草图，梗概估测适当的位置，惟有看上去像直角，便细目旋转后△ADE的位置，然后勾通CD，CE，赢得某种情形下的图形，用于解题没问题，但淌若进一步作出准确的图，则上述格式行欠亨了。

咱们再行审题，△ABC和△ADE，题目中描画是“其中一个纸片绕这个极点旋转”，这个极点仍是细目是点A，但并未强调是哪个三角形绕另一个旋转，只不外在每个小问前边的描画中，“在纸片ADE绕点A旋转进程中”令咱们先入之目力将△ABC“固定”住了，去旋转△ADE，是以在精准作图时遭逢了阻截；

其实命题者仍是留住了空间，促使咱们在构图时不固执于旧有印象，是以咱们编削下旋转主体，将△ADE“固定”，将△ABC绕极点A旋转，点C旋转到某处，使得△CDE为直角三角形；这么咱们就只需要不雅察△ADE的极点D和E，以及绕点A旋转的点C，由于旋转进程中AE遥远就是AC，是以点C在以A为圆心，半径为5的圆上，如下图：

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将不雅察焦点聚会于极点C，D，E上，不错发现，竟然不必管点B在那里，问题转动成已知线段DE，点C在圆A上，当点C位于那里时，△CDE是直角三角形？

这个问题是咱们仍是处理过的，不错用“两线一圆”来处理，即分别过点D、E作DE的垂线，构造以D、E为直角极点的直角三角形，再以DE为直径作圆，构造以C为直角极点的直角三角形，如下图：

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经过测量，这四处位置均为直角，完成了精准作图.

事实上，第3问解法中的图，亦然基于这种格式，用软件作图，几何画板或GGB王人能很好地完成，有敬爱的本分们不错尝试操作一下。

临了咱们需要连络的是，为什么咱们旋转△ADE作草图，和旋转△ABC精准作图，着力是一样的？咱们若何让学生网络这种一致性？

回到题目自己的描画中来，正如前边所分析，命题者并未强调哪张纸片绕另一张纸片旋转，因此不管“固定”哪个三角形，论断应该是全王人相易的，在每个小问的描画中，淌若去掉“纸片ADE绕点A旋转进程中”，改为“其中一张纸片绕点A旋转进程中”，就莫得固化作图念念维了，天然以上仅为个东谈主认识；

在解题进程中，学生一定会面对“存在几种情况”的狐疑，尽管不错依靠较强的想像力去估测可能的情形，但要准确知谈着力，仍然需要反演构图，这亦然一种逆向念念维。

在解题素质中，不妨多准备几个备用图，让学生用手头的器具去画，去尝试，再互相交流，果敢推测，注意考证，然后念念考为什么。

在老师自已研题时，固然咱们不错借助软件作图，但用软件之前，仍然需要对图形结构有明晰的融会，以本题为例，若不是给与反演作图，或许也得靠鼠标拖动一个梗概位置，在这种情况下，89.99°和90°区别很大。

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